Brkić je rođen 24. jula 1974. godine u Sarajevu. Košarkom se počeo baviti u Bosni kada je imao 10 godina. Bio je na pragu prve ekipe početkom rata 1992. godine kao sedamnaestogodišnjak, ali je napustio BiH i otišao u Srbiju, gde je ubrzo potpisao za Partizan. Trenirao je s mladim timom, a potom je pozajmljen Borcu iz Čačka, gde je započeo profesionalnu karijeru.
Godinu dana kasnije se vratio u Partizan i odigrao šest sezona. Osvojio je tri šampionske titule i tri kupa. Bio je jedan od najboljih igrača Partizana u F4 Evrolige u sezoni 1997/1998.
Tokom sezone 1999/2000. je igrao za Budućnost iz Podgorice, gde je osvojio titulu prvaka Jugoslavije. Sezonu 2000/2001. je počeo u Budućnosti, ali se vratio u Partizan. Brkić je za Partizan odigrao 290 utakmica i deseti je na večnoj listi. Sa 3.709 poena nalazi se na osmom mestu liste strelaca, a sa 951 poenom je na petom mestu najefikasnijih igrača Partizana u evropskim kupovima.
Brkić se smatra jednim od najtalentovanijih košarkaša koji su se na našim prostorima pojavili u poslednjih 30 godina.
Poznat je po svom dvokoraku koji je nazvan "Harisov ulaz". Radi se o produženom koraku koji se teško branio. O tom dvokoraku su sudije imale podeljeno mišljenje, ali je konačno zaključeno da se ne radi o grešci u koracima.
Brkić bi kretao s loptom na koš, a onda bi jednom nogom dva puta "naskakao", čime bi zbunjivao protivničke igrače. Uglavnom bi asistirao ili poentirao, grešio je vrlo retko.
Brkić je bio mladi reprezentativac Jugoslavije, koja je 1996. osvojila bronzanu medalju na Evropskom prvenstvu za U20 reprezentaciju u Turskoj. Bio je na pripremama i igrao prijateljske utakmice za seniore, ali se nikada nije pojavio na velikom takmičenju.
"Zašto? Želim samo da pitam čoveka koji je oduzeo život mom sinu, zašto je to uradio? Više me ne zanima ni da li će biti kažnjen, samo hoću da znam zašto je pucao u mog Harisa. Njega više nema i ništa ne može da mi ga vrati, ali suprug i ja ne gubimo nadu da će ubica biti uhvaćen", izjavila je pregodinu dana Harisova majka Radmila.
Svakog leta njegovi bivši klubovi Bosna, Parizan i Budućnost organizuju "Memorijalni turnir Haris Brkić" u njegovu čast. Navijači Partizana ga se često sete tokom utakmica.